连续统的基数不是阿列夫一。
阿基里斯回忆着之前那张纸上列举着超图灵机力量层次的图灵度层级，表情疑惑地问道：
“可是，之前在那张图表上，你不是在无限时间图灵机的下方划了一条线，并且写下了实数连续统吗？”
在那张图灵度层级的图表上，所有的超图灵机都属于可数无限的层次，唯有最末尾的实数连续统是不可数无限。
这样看来，康托尔的连续统假设在这个世界里应该是成立的。
自然数集合的幂集，全体实数构成的集合，全体可数序数构成的集合，三者的基数都是不可数无限?1。
“不，等等，我好像明白了！”
阿基里斯看了眼自己脑袋上顶着的那个日光圆环散发的白光，突然反应了过来。
“你在那张纸上写的是实数连续统，而不是连续统。”
“你的意思是说，在这个世界里，即使是所有的实数，依然无法填满整条数轴？”
李恒点点头道：
“不错。”
“其实这也不难想到，第二次数学危机就是实无限和潜无限的混乱带来的危机——更准确的说，是无穷小量和0之间的矛盾。”
“莱布尼茨就在自己的微积分中使用了实无穷小，这也是贝克莱主教攻击微积分理论基础的主要方向。”
“从本体论上看，莱布尼茨将无穷小量看作是万物由此组成的不可再分的最小的原子，它是绝对值小于任何实数的实无穷小。”
“柯西和魏尔斯特拉斯的极限概念，戴德金分割用有理数对连续的直线进行切割，康托尔用有理数序列表示十进制无限小数的方法，这三者彼此都是等价的。”
“它们都定义了一个稠密、连续、完备的实数模型。”
“但是，以上这些理论都只属于标准分析的范围。”
“有标准分析，自然就有非标准分析。”
就像既有局限于平面上的欧氏几何，也有扩展到高维空间的非欧几何一样。
在欧氏几何中成立的结论，在非欧几何中却不一定成立。
两者并非是简单的谁对谁错的问题。
作为一切推理证明前提的公理都改变了，后续得到的定理和结论自然就会完全不同。
欧氏几何中不证自明的平行公理不再是整个理论的基础，它只是非欧几何中一种特殊的情况。
这种集合论公理的增加与删改并非随意而为的。
如无必要，勿增实体。
最好的集合论公理系统就是能以最少的公理得到最多的结论。
如果能从定义自然数的皮亚诺公理出发解决一切问题，自然就用不着多此一举地去改动最基础的公理。
但因为哥德尔不完备定理，一切数学体系都存在自身内部不能证明的命题。
在这种情况下，为了能研究这些不可证的问题，只能增加更多的公理，将系统扩张为更大的体系。
非标准分析继承了莱布尼茨的想法，将实无限的思想从有限大的无理数扩展到那些真正无限的数。
任何科学理论都有它的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。
『紧挨着1的下一个数是什么？』
这个问题放在十进制自然数的范围内，答案是2。
放在二进制自然数的范围内，答案是10。
但扩展到有理数的范围内，思想有限的人类就无法找到紧挨着1的下一个数。
显而易见的，同一个问题的答案会因为研究范围的不同而发生改变。
在此之前，李恒和阿基里斯讨论的一切都在标准分析规定的实数范围内。
实数域是最大的阿基米德有序域，具备阿基米德性质。
在数轴上截取任意小的一段a，以及任意大的一段b，总能找到一个自然数n，使n条线段a的长度相加大于线段b。
实数域的定义域是(－∞，＋∞)，它表明实数轴的两端无限延伸，是一个潜无限的区间。
在实数域中，并不包括实无穷大和实无穷小。
非标准分析则是实数域r的扩展，引入了无穷小数和无穷大数。
在非标准分析定义的数轴上，可以截取出一段长度为实无穷小的线段。
这条线段的长度小于任何给定的实数，因而也就不再具备阿基米德性质。
标准分析中的实数是real number。
非标准分析定义的数集被称为超实数集，hyperreal number。
这是一个比实数集更大的集合，将实数作为它的子集。
李恒伸手从阿基里斯的头上摘下那个完美的圆环，毫不费力地就把这个容纳着不可数无限力量的圆扯断、拉直，做成了一条散发着白光的数轴。
这一幕看得阿基里斯心中一跳，原来这玩意就是用她之前见过的那条数轴做出来的。
不，现在的话，应该把这条数轴称作是实数轴更合适。
她所在的这个世界显然并不仅仅局限于标准分析定义的实数集的范围。
即使是数量达到?1的全体实数，依旧无法构成一条完美无缺，没有空隙的数轴。
“回顾我们之前对芝诺悖论的解决方式。”
“长跑健将阿基里斯从数轴上的0点位置出发，第一步走出0.9，第二步走出0.09，如此无限累加，最终走出了无限步。”
“在经过无限次迈步之后，她从0走到了1，追上了芝诺那只恼人的乌龟。”
“0.999…=1，两者是标准分析中定义的同一个实数的不同写法。”
“但是，如果并不局限于实数域的范围，将这条数轴上分布的数扩大到超实数域…”
说到此处，李恒的目光投向阿基里斯肩膀上贴着的便签。
在“一一对应、基数”，“有序排列、序数”，“排中律”三张纸条以外，还有最后才贴上去的一张纸条。
“戴德金分割？”
阿基里斯顺着他的目光歪了歪头，看着自己肩膀上的这张纸条若有所思。
原来如此。
写着排中律的纸条对应的是第三次数学危机后诞生的哥德尔不完备定理和停机问题，以及超图灵机的力量层级。
从有限到可数无限，再到不可知不可论的不可数无限。
但这一切都局限于实数的范围以内。
第四张便签上的内容才是他们研究连续统需要面对的最后一个问题。
所有的实数真的构成了一条无缝的数轴吗？
对有限的凡人而言，这个问题不会有什么可验证的结果。
如果全体实数依旧无法填满数轴，那就表明连续统的基数比不可数无限?1还要大，至少是?2或者更大。
但实数集就已经是不可知不可论的存在，更别说是比它还大的集合。
“戴德金分割…”
阿基里斯对着面前白色的数轴比划着自己的手掌，做出一个像是切蛋糕的手势。
所谓戴德金分割，是用有理数作为刀刃去切割一条连续无缝的实直线，把实数集切割成左右两个互斥的集合。
当切割出的左集中没有最大元素，右集中也没有最小元素，那就代表砍中了数轴上有理数之间的空隙。
这种空隙是一块非0的无穷小区域。
因为有理数定义为整数之比p\/q，所以它们之间的每一个空隙都是一条非零的线段。
这条线段里有无限多的代数无理数和超越无理数，这些点的集合构成了数轴上一段非0却小于任意给定实数的长度。
“再多给你一点提示。”
李恒打了个响指道：
“向着实数轴上扔一个理想的点状飞镖，它命中1的概率是0。”
“同样的，它命中自然数、有理数、代数无理数这些数量为可数无限的数的概率显然也是0。”
“不仅如此，就算是不可数无限也一样。”
“举个例子，刘维尔数集可以与实数集一一对应，它是一个不可数无限集合。”
“但刘维尔数集却是一个零测集，也就是说它在实数轴上占据的区域为0。”
“有限数，可数无限，不可数无限。”
“明明彼此之间有着天地之差，却都在数轴上占据着一块大小为0的区域。”
“点和线，这两个概念之间的差距比常人想象中的还要大得多，完全不是区区降维打击的程度。”
“从点的集合出发，自下而上地去思考数轴的连续性，这种方法是没用的。”
“即使不可数无限数量的点组成的集合，也无法从没有大小的点跨越到有长度的线段。”
任一实数都对应数轴上唯一的一点，反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。
于是，实数集r与数轴上的点有着一一对应关系。
但是，如何从没有长度的点跨越到有长度的线段，这个过程其实是含糊不清的。
实数的数量是远比有理数更多的不可数无限，它们在数轴上比稠密的有理数更稠密。
但是，仅仅是引入一个比可数无限更大的不可数无限，并不能完成从点到线段的跨越。
阿基里斯凝神思索，回忆着两人从自然数世界开始一路走到现在的经历，逐渐有了思路。
应该反过来思考，从连续无缝的直线为起点，研究直线的无限可分性。
用有理数切割直线，可以得到无数个长度非0的无穷小线段。
这些线段的长度是潜在的无穷小，它们内部隐藏着的无理数填补了数轴上有理数之间的空隙。
到这里都没有什么不清晰的地方，用有理数切割直线得到的是无数条长度非0的无穷小线段。
这其实更符合现实计算中微积分的思想。
有限的人类不可能精确计算无理数，所有的无理数都只是用有理数去近似逼近。
实际计算中处理的无理数其实不是一个常数，而是一个变量，对应于数轴上的一个区间。
问题在于，实数模型后续又将十进制无限小数定义的无理数作为数轴上唯一确定的点，用无数的点去构成这些有着非0长度的无穷小线段。
究竟如何才能从没有长度的点跨越到有长度的线段，这一过程并不清晰明了。
如果，在戴德金分割的基础上更进一步。
既然可以用有理数作为刀刃去切割直线，那为什么不能用实数作为刀刃切割直线？
心中的想法渐渐成型，阿基里斯看向眼前白色数轴上数字1所在的位置。
“如果允许不为0的实无穷小存在，数轴上就有无数条长度比任何实数都小，却依旧不为0的线段。”
“每一个无理数都是一个已完成的实无限序列，但是，这些无理数之间依旧还藏着空隙。”
“阿基里斯即使走过了无限步，它也依旧追不上那只芝诺的乌龟！”
抬起的手掌终于斩下，目标正是数轴上的1。
存在实无穷小，那么0.99…≠1。
两者之间还有一条小于任何实数，却依旧长度不为0的实无穷小线段。
正是这些仿佛没有大小的点的线段填补了实数之间的空隙，就像无理数填补有理数之间的空隙一样。
这些实无穷小线段就是超实数所在的地方！
哐当！
耀眼的火花在眼前亮起，阿基里斯的手掌上传来一阵剧烈的疼痛感，让她低低惊叫了一声。
“哎呀？！”
她想的应该没问题的啊。
眼前的白色数轴完好无损，完全不像是之前在李恒手上时那样，轻轻松松地就被他扯成了两段。
李恒再次用一脸看傻子的表情看着她，嘴角带着些许笑意道：
“虽然比以前聪明了一些，但果然还是个小呆瓜。”
“忘了我们之前是怎么抵达牛顿和莱布尼茨所在的无理数世界的么？”
阿基里斯眼神茫然了一瞬，紧接着脸颊微微泛红，不太好意思地略微偏过了脑袋。
“嘿嘿，我不小心忘了。”
没办法，她在这个混沌不可知的世界里数了亿万个纪元的数字，很多细节都混在那些枯燥无味的记忆里了。
现在想起来了，她当时是用胸前挂着的这台芝诺机杀死了毕达哥拉斯，破开了看不到尽头的无穷小世界，找到了隐藏在有理数之间的无理数。
更准确的说法是，潜无穷小世界。
芝诺机是超图灵机，具备可数无限?0的力量，有理数则是两个有限大的整数之比，找到潜无穷小世界自然不在话下。
但超实数却是存在于两个实数之间。
每一个实数都是一个已完成的无穷序列，是可数无限?0级别的力量。
以此类推，想要找到实数之间的空隙，去往超实数所在的实无穷小世界，至少需要更高一个层次的力量，也就是不可数无限?1级别的力量。
生灵只能窥探到比自己高一个层次的世界，如果隔着两个无限的层次，那里就是不可知不可论的世界。
没有能够付诸实践的力量，就只能被禁锢在原来的世界。
“超实数域有三个组成部分。
无穷小δ，e，它的绝对值比任何实数都要小。
有限数，它就是实数，任何给定的实数都是有限大。
无限大数，w，这里e=1\/w，它比任何实数都要大。”
“引入了无限大数和无穷小数之后，在超实数域中，0.99…和1表示的不是数轴上的同一个数。”
“两者之间还存在着无穷多个与它们相差一个无穷小量的超实数，类似于1-e，1-e^2等等。”
“但这些无限大数和无限小数只是最基础的部分。”
“之前我们在康托尔的精神病院里都能用幂集公理从?0开始一路向上无限跳跃，你不会觉得只是用实数切割一次数轴就到尽头了吧？”
啊，早就该猜到的了。
阿基里斯对此毫不意外，这可没有什么事不过三的说法。
既然能切割一次、两次，那自然就可以继续切割无数次。
从点到线，从离散到连续，从静止到运动。
两者之间的差距远比她最初以为的还要大得多。
在这个世界里，连续统的基数远不只是?1或者?2。
不过，这样正好，越远越好。
真理无穷，如果他们两个的研究也永远不会走到尽头就好了。